* Numerical Intergration
§1. Newton-Cotes Integration
1) Trapezoidal Rule
2) Simpson’s Rule
3) Unequal segments
4) Open Integration formula
§2. Integration of Equations
1) Romberg integration
2) Gauss Quadrature
* Numerical differentiation
§1. High- Accuracy Differentiation formulas
§2. Ridchardson Extrapolation
§3. Unequally Spaced Data
§1. Newton-Cotes Integration
1) Trapezoidal Rule
1) Trapezoidal Rule
2) Simpson’s Rule
2) Simpson’s Rule
2) Simpson’s Rule
§2. Integration of Equations
1) Romberg integration
1) Romberg integration
2) Gauss Quadrature
2) Gauss Quadrature
2) Gauss Quadrature
2) Gauss Quadrature
2) Gauss Quadrature
Numerical differentiation
Numerical Differentiation and Integration
Numerical Intergration
§1. Newton-Cotes Integration
1) Trapezoidal Rule
2) Simpson’s Rule
3) Unequal segments
4) Open Integration formula
§2. Integration of Equations
1) Romberg integration
2) Gauss Quadrature
Numerical differentiation
§1. High-Accuracy Differentiation formulas
§2. Ridchardson Extrapolation
§3. Unequally Spaced Data
§1. Newton-Cotes Integration
....
babandxxfdxxfI)()(nnnnnxaxaaaxf
.......
...
.
.
1110)(
....
babadxxfdxxfI)()(1
2
세
개의
직선
선분
아래의
면적에
대한
적분의
근사값
폐구간적분공식
개구간적분공식
1) Trapezoidal Rule
# 사다리꼴
적분공식
....
babadxxfdxxfI)()(1)(
)()(
)()(1axabafbfafxf.
.
.
..
2)()(
)(
bfafabI
.
..
사다리꼴
적분
공식의
그래프적인
표현
3))((''
121abfEt....
4
1) Trapezoidal Rule
# 합성
사다리꼴
적분
공식
....
.........
xnxnxxxxdxxfdxxfdxxfI12110)()()(
2)()(
2)()(
2)()(12110nnxfxfhxfxfhxfxfhI
.
.....
.
.
.
.
.
..
.
..
.
....
.
.
110)()(2)(
2ninixfxfxfhI
nxfxfxfabInini2)()(2)(
)(
110.
.
.
..
..''
12)(
23fnabEa
.
..
5
2) Simpson’s Rule
# Simpson 1/3 공식
....
babadxxfdxxfI)()(2
dxxfxxxxxxxxxfxxxxxxxxxfxxxxxxxxIxx...
.
..
.
..
..
.
..
..
.
..
..
.
20212021012101200201021)(
))((
))((
)(
))((
))((
)(
))((
))((
6)()(4)(
)(
210xfxfxfabI
..
..)(
901)4(5.fhEt..)(
2880)()4(
5
.fabEt
.
..)]()(4)([
3210xfxfxfhI...
6
2) Simpson’s Rule
# 합성
Simpson 1/3 공식
....
.......
xnxnxxxxdxxfdxxfdxxfI14220)()()(
nxfxfxfxfabIninnjji3)()(2)(4)(
)(
15,3,126,4,20..
.
.
.
.
...
..)4(
45180)(
fnabEa
.
..
6)()(4)(
26)()(4)(
26)()(4)(
212432210nnnxfxfxfhxfxfxfhxfxfxfhI
..
......
.
..
.
..
.
..
2) Simpson’s Rule
# Simpson 3/8 공식
....
babadxxfdxxfI)()(3..)(3)(3)(3)(
833210xfxfxfxfhI....
8)()(3)(3)(
)(
3210xfxfxfxfabI
...
..)(
6480)()4(
5
.fabEt
.
..
§2. Integration of Equations
1) Romberg integration
합성
사다리꼴
적분
공식과
Simpson 공식들은
높은
효율
성과
작은
오차를
필요로
하는
문제에
대해서는
부적합
.
Romberg 적분법은
이러
한
결함을
제거시키기
위
해서
설계된
기법
중
하
나이다.
1) Romberg integration
# Richardson 보외법
; 보다
정확한
근사값을
구하는
3차로
계산하기위해
두개의
적분
추정값을
사용한다
.
)()()()(2211hEhIhEhI...222121)(
)(
hhhEhE
.
22121)()(..
.
..
.
.
hhhEhE)()()()(2222121hEhIhhhEhI....
.
..
.
.221212)/(1)()(
)(
hhhIhIhE
.
.
.''
122fhabE
.
..
10
# Richardson 보외법
..)()(
1)/(
1)(122212hIhIhhhII...
.
..
.
.
..
)(
31)(
3412hIhII..
: 구간이
1/2로
줄어든
경우
)(
151)(
151612hIhII..
: 구간이
1/4로
줄어든
경우
)(
631)(
636412hIhII..
: 구간이
1/8로
줄어든
경우
11
1) Romberg integration
# Romberg integration 알고리즘
14411,1,11,
.
.
..
...
.
kkjkjkkjIII
1/3 1/15 1/63
I11
I12
I13
I14
4/3 16/15
64/63
I21 I22 I23
I31
I32
%100,11,1,1kkkaIII..
..
I41
12
2) Gauss Quadrature
2)()(
)(
bfafabI
.
..
(a) 와
같은
사다리꼴
적분공식은
양
끝점을
지나야
되기
때문에
큰
오차를
생성해
낸다
.
반면에
(b)에서
처럼
고정된
기준점에
제약
을
제외
시킨다면
곡선상에
있는
어떤
두
점
을
연결하는
직선
아래의
면적을
자유롭게
계산
할
수
있게
된다
. Gauss 구적법은
이러
한
전략을
구현하는
기법중의
하나이다
.
13
2) Gauss Quadrature
# Method of undetermined coefficients
)()(10bfcafcI...
.
..
..
2/)(
2/)(
101ababdxcc.
.
..
.
.
.
.
.
2/)(
2/)(
1022ababxdxabcabc
14
2) Gauss Quadrature
# Method of undetermined coefficients
210abcc
.
..)(
2)(
2bfabafabI
.
.
.
.02210.
.
.
.
.
abcabc
15
2) Gauss Quadrature
# 두점
Gauss-Legendre Formulas
)()(1100xfcxfcI..21)()(
111100.....
dxxfcxfc3/2)()(
1121100.....
dxxxfcxfc0)()(
111100.....
xdxxfcxfc0)()(
1131100.....
dxxxfcxfc
16
2) Gauss Quadrature
# 두점
Gauss-Legendre Formulas
...577350629.0310..
.
.x...577350629.0311..x)
31()
31(ffI.
.
.
17
Numerical differentiation
§1. High Accuracy Differentiation Formulas
........
212)(''
)(')()(hxfhxfxfxfiiii)(
2)('')()(
)('21hOhxfhxfxfxfiiii..
.
.
.
)(
)()(
)('
1hOhxfxfxfiii.
.
.
.
)(
)(2)(
)(''212hOhxfxfxfiii.
.
.
..
18
§1. High Accuracy Differentiation Formulas
)(
2)()(2)()()(
)('22121hOhhxfxfxfhxfxfxfiiiiii.
..
.
.
.
...
)(
2)(3)(4)(
)('212hOhxfxfxfxfiiii.
...
.
..
전진차분에
의한
1차
도함수
: 오차
hxfxfxfiii)()(
)('
1.
.
.
hxfxfxfxfiiii2)()(4)(
)('
12...
.
..
)(hO)(2hO
19
§1. High Accuracy Differentiation Formulas
후진차분에
의한
1차
도함수
: 오차
hxfxfxfiii)()(
)('
1.
.
.
hxfxfxfxfiiii2)()(4)(3)('
21....
.
)(hO)(2hO
중앙차분에
의한
1차
도함수
: 오차
hxfxfxfiii2)()(
)('
11...
.
hxfxfxfxfxfiiiii12)()(8)(8)(
)('
2112........
.
)(2hO)(4hO
20
§2. Ridchardson Extrapolation
두
가지
도함수
추정법을
사용해서
보다
정확한
근사값을
구하는
방법
.
)]()([
1)/(
1)(122212hIhIhhhII.
.
..
)(
31)(
3412hhII..
)(
31)(
3412hDhDD..
21
§3. Unequally Spaced Data
각각
인접한
불균등한
간격을
갖는
세게의
점들에서
2차
Lagrange 보간다항식에
적합시키면
:
))((
2)()('
11111
...
.
.
..
..
.
iiiiiiixxxxxxxxfxf
))((
2)(
1111
..
..
..
..
.
iiiiiiixxxxxxxxf
))((
2)(
11111iiiiiiixxxxxxxxf
..
..
.
...
.
.
22