선형대수학: 행렬, 벡터, 행렬식, 선형연립방정식

Ch. 7 선형대수학 : 행렬, 벡터, 행렬식 , 선형연립방정식 . 선형연립방정식은 전기회로 , 기계 구조물 , 경계모델, 최적화 문제 , 미분방정식의 수치해 등을 다룰 때 나타남 . 선형연립방정식의 문제를 해결하는데 , 행렬과 벡터 이용 7.1 행렬, 벡터: 합과 스칼라곱 . 행렬(Matrix): 수(혹은 함수 )를 직사각형 모양으로 괄호 안에 배열한 것 . 원소(Entry) 또는 요소(Element): 행렬에 배열되는 수 (혹은 함수 ) . 행(Row): 수평선 . 열(Column): 수직선 . 일반적인 표기법과 개념 ..행렬 : 212222111211nmaaaaaaaaaamnmmnnjk. . . . . . . . . . . . . .. . .... . . A . 행렬은 굵은 대문자로 나타낸다 . 첫 번째 아래 첨자 j는행 (Row) . 두 번째 아래 첨자 k는열 (Column) . jka: j 행, k 열의 원소 (Element) 7.1 행렬, 벡터: 합과 스칼라곱 .정방행렬 (Square Matrix) . m=n 이라면 A는 정사각형 모양이다 . 정방행렬에서 원소 을 포함하는 대각선을 행렬 A 의 주대각선 (Principal Diagonal)이라고 한다 . 벡터(Vector): 한 개의 행이나 열로 구성된 행렬 . 행벡터(Row Vector): 하나의 행으로 구성 . 열벡터(Column Vector): 하나의 열로 구성 . . . . . . . . . . . . . mbbb . 21b 7.1 행렬, 벡터: 합과 스칼라곱 . 행렬의 상등 (Equality of Matrices) : 행렬의 크기가 같으며 대응되는 원소들이 모두 같은 경우 . 행렬의 가법 (Matrix Addition) : 같은 크기의 행렬에 대해서만 정의되고 , 그 합은 대응하는 원소를 각각 합 함으로 얻어진다 . . 스칼라곱 (Scalar Multiplication) : 행렬의 각 원소에 상수를 곱하여 얻어진다 . .행렬의가법과스칼라곱에대한연산법칙 .... ..0AAA0ACBACBAABBA ... .. ..... ..... .. .... AAAAAAABABA . . ... ... 1ckkckckcccc 7.2 행렬의 곱 . 행렬과 행렬의 곱 (Matrix Multiplication) : r×p행렬 의 행수 r와 m×n행렬 의 열수 n가 서로 같아야 정의되며 를 원소로 하는 m×p행렬로 정의된다. . AB는 정의되지만 BA는 정의되지 않을 수 있다 . 행렬의 곱은 비가환적 (Not Commutative)이다. . 행렬의 곱에 대한 연산법칙 ...... ........ ...... ...... Associative Low Distrivutive Low Distrivutive Lowkkk.. . ... ... ABABABABCABCABCACBCCABCACB결합법칙분배법칙분배법칙 7.2 행렬의 곱 . 행렬과 벡터의 전치 (Transposition of Matrices) : 열과 행이 서로 바뀌어 얻어진 행렬 . .전치연산에대한법칙 .. .. .. ..TTTTTTTTTTccABABAABABAAA . . ... . .... . . . . . . . . . . . . .... mnnnmmkjTjkaaaaaaaaaaa . .... . . 212221212111 AA . 정방행렬에 대한 전치는 주대각선에 관하여 대칭으로 위치된 원소들을 서로 바꾼 것이다 . 7.2 행렬의 곱 . 특수한 행렬 (Special Matrices) . 대칭행렬 (Symmetric Matrix): 전치가 본래의 행렬과 같은 정방행렬 . 반대칭행렬 (Skew-symmetric Matrix) : 전치가 본래의 행렬의 음이 되는 정방행렬 . 삼각행렬 (Triangular Matrix) . 위삼각행렬 (Upper Triangular Matrix) : 주대각선을 포함하여 그 위쪽으로만 0이 아닌 원소를 갖는 정방행렬 . 아래삼각행렬 (Lower Triangular Matrix) : 주대각선을 포함하여 그 아래쪽으로만 0이 아닌 원소를 갖는 정방행렬 . 대각행렬 (Diagonal Matrix) : 주대각선 상에서만 0이 아닌 원소를 가질 수 있는 정방행렬 . 스칼라 행렬 (Scalar Matrix) : 주대각선 원소들이 모두 같은 대각행렬 . 단위행렬 (Unit 또는 Identity Matrix) : 주대각선 원소들이 모두 1은 대각행렬 7.3 선형연립방정식 , Gauss 소거법 . 선형연립방정식 , 계수행렬, 첨가행렬 . 선형연립방정식 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... ... ... nnmnmmnnmnmnmnnnnbbbxxxaaaaaaaaabxaxabxaxabxaxa .. . .... . . . ......... . . 2121212222111211112212111111 . 제차연립방정식 (Homogeneous Simultaneous System) : 가 모두 0인 경우 jb . 비제차연립방정식 (Nonhomogeneous Simultaneous System) : 중 적어도 하나는 0이 아닌 경우 jb 7.3 선형연립방정식 , Gauss 소거법 .선형연립방정식의 행렬표현 : bAx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nnmnmmnnbbbxxxaaaaaaaaa .. . .... . . 2121212222111211 , , bxA . 계수행렬 (Coefficient Matrix): A . 해벡터(Solution Vector): x . 첨가행렬 (Augmented matrix): 계수행렬 A에 열벡터 b를 첨가한 행렬 . . . . . . . . . . . . . nmnmmnnbbbaaaaaaaaa . . . . . . .... . . 21212222111211 ~A 7.3 선형연립방정식 , Gauss 소거법 . 가우스 소거법과 후치환 (Gauss Elimination and Back Substitution) 연립방정식 첨가행렬 30342522121 .... .. xxxx .. . .. . ..3034252 Step 1 1x 을 소거 : 첫 번째 식에 두 배 한 후 , 이를 두 번째 식에 더한다 . 2613252221 .. .. xxx .. . .. . .26130252 Step 2 후치환(Back Substitution) : 12 ,xx 순으로 해를 구한다 . 마지막 방정식에서 해를 구한 후 , 그 결과를 역순으로 첫째 방정식에 대입하여 정리한다 . ......21211262, 2525261322xxx.......... 7.3 선형연립방정식 , Gauss 소거법 . 기본행연산 . 행동치 연립방정식 (Elementary Row Operations. Row-Equivalent Systems) <방정식에 대한 기본연산 > <행렬에 대한 기본행연산 > . 두 방정식을 교환하는 것 . 두 행을 교환하는 것 . 한 방정식의 상수배를 . 한 행의 상수배를 다른방정식에더하는것 다른행에더하는것 . 한 방정식에 0이 아닌 상수를 곱하는 것 . 한 행에 0이 아닌 상수를 곱하는 것 . 기본 행연산을 이용하여 미지수를 하나씩 소거하여 대각선 아래의 계수를 0으로 만든다 7.3 선형연립방정식 , Gauss 소거법 . 행동치(Row-Equivalent) : 선형시스템 이 선형시스템 1S 에 유한번의 기본행연산을 가하여 얻어질 수 있다면 2S 1S 을 2S 의 행동치라 한다 . . 행동치 연립방정식 (Row-Equivalent Systems) : 행동치 연립방정식들은 같은 해집합을 갖는다 . . Gauss 소거법 : 연립방정식의 세가지 경우 . 무한히 많은 해가 존재하는 경우 (미지수의 수가 방정식의 수보다 많은 경우 ) . 유일한 해가 존재하는 경우 . 해가 존재하지 않는 경우 (연립방정식의 해가 존재하지 않는 경우 ) 7.3 선형연립방정식 , Gauss 소거법 . Ex.3 4개의 미지수를 갖는 3개의 선형연립방정식 , 그리고 이에 대응하는 아래의 첨가행렬을 가진 연립방정식의 해를 구하라 . . . . . . . . . . . .. . . 1.24.23.03.02.17.24.55.15.16.00.80.50.20.20.3 . . . 1.24.23.03.02.17.24.55.15.16.00.80.50.20.20.3432143214321 .... .... .... xxxxxxxxxxxx Step 1 을 소거 첫째 방정식에 배 하여 두 번째 방정식에 더하라 . 첫째 방정식에 배 하여 세 번째 방정식에 더하라 . .. .. 3.02.02.05.08.001.11.14.41.101.11.20.21314.41.0.141 ... .. . .. ..... ... ..... 행행행행1.14.41.11.11.14.41.11.10.80.50.20.20.34324324321 ..... ... .... xxxxxxxxxx 7.3 선형연립방정식 , Gauss 소거법 Step 2 2x 을 소거 : 두번째 방정식에 배 하여 세 번째 방정식에 더하라 3.02.02.05.08.001.11.14.41.13200000 ... .. . .. .....행행001.14.41.11.10.80.50.20.20.34324321 . ... .... xxxxxxx Step 3 후치환 는 임의로 결정할 수 있는 수이므로 , 무한히 많은 해가 얻어진다 . 34 xx와 7.3 선형연립방정식 , Gauss 소거법 . Ex.4 Gauss 소거법을 해가 존재하지 않는 연립방정식에 적용 . . . . . . . . . . 642601123123 . . . 642602323321321321 ... ... ... xxxxxxxxx Step 1 을 소거 첫째 방정식에 배 하여 두 번째 방정식에 더하라 . 첫째 방정식에 배 하여 두 번째 방정식에 더하라 . .. 321311023302222133201 .. .. .... .. ..... .. ..... .. ... 행행행행022231313233232321 ... .... ... xxxxxxx 236... 7.3 선형연립방정식 , Gauss 소거법 Step 2 2x을 소거 : 세 번째 식에서 2x 를 소거 .. 321311362023300012 .. .. .... .. . ... . ..행행 1202313132332321 . .... ... xxxxx 모순이 되어 연립방정식은 해를 갖지 않는다 . 7.3 선형연립방정식 , Gauss 소거법 . 행사다리꼴(Row Echelon Form) 과 행 사다리꼴로부터의 정보 . 행사다리꼴 : Gauss 소거법의 마지막 단계에서 보는 계수행렬과 첨가행렬의 형태와 이에 대응하는 연립방정식 . 3가지 가능한 경우 : . 정확하게 하나의 해가 존재한다 . : r = n 이고 이모두 0이다. . 무한히 많은 해가 존재한다 . : r < n 이고 이모두 0이다. . 해가 없다 . : r < m 이고 중 하나라도 0이이 아니다 . 7.4 일차 독립 . 행렬의 계수 . 벡터공간 . 벡터의 일차 독립과 종속성 . 일차 독립 (Linearly Independent): 모든 0.jc일때만위식이만족 . 일차 종속 (Linearly Dependent): 어떤 0.jc이어도위식이만족 7.4 일차 독립 . 행렬의 계수 . 벡터공간 . 행렬의 계수 (Rank): 행렬에서 1차독립인 행벡터의 최대수이며 rank(A)라 표시 . 행동치인 행렬 행동치인 행렬들은 같은 계수를 갖는다 . . 일차종속성과 일차독립성 각각 n개의 성분을 갖는 p개의 벡터들은 이 벡터들을 행벡터로 취하여 구성된 행렬의 계수가 p이면 일차독립이고 , 그 계수가 p보다 작으면 일차종속이다 . . 열벡터에 의한 계수 행렬의 계수는 행렬의 일차독립인 열벡터의 최대수와 같다 . 행렬과 행렬의 전치는 같은 계수를 갖는다 . . . 벡터의 일차종속 n(< p)개의 성분을 갖는 p개의 벡터들은 항상 일차종속이다 . 7.4 일차 독립 . 행렬의 계수 . 벡터공간 . 벡터공간 (Vector Space) : 공집합이 아닌 벡터의 집합에 속해 있는 임의의 두 원소에 대하여 , 이들의 일차결합이다시집합의원소가되며다음법칙을만족하는벡터들의집합 .... ..0AAA0ACBACBAABBA ... .. ..... ..... .. .... AAAAAAABABA . . ... ... 1ckkckckcccc . 차원(Dimension): 벡터공간내의 일차독립인 벡터들의 최대수이며 dim(V) 로 표기 . 기저(Basis) : 벡터공간내의 최대로 가능한 수의 일차독립인 벡터로 구성되는 부분집합이며 기저가 되는 벡터의 수는 차원과 같다 . 7.4 일차 독립 . 행렬의 계수 . 벡터공간 . 생성공간 (Span) : 성분의 수가 같은 벡터들에 관한 일차결합으로 표환되는 모든 벡터들의 집합 . 부분공간 (Subspace) : 벡터공간에서 정의된 벡터합과 스칼라곱에 관하여 닫혀있는 부분집합 7.4 일차 독립 . 행렬의 계수 . 벡터공간 . nR 벡터공간 n개의 성분을 갖는 모든 벡터들로 이루어진 벡터공간 nR 의 차원 n이다. . 행공간(Row Space): 행벡터들의 생성공간 . 열공간(Column Space): 열벡터들의 생성공간 . 행공간과 열공간 행렬의 행공간과 열공간은 차원이 같고 , 행렬의 계수와도 동일하다 . . 영공간(Null Space): Ax = 0의 해집합 . 퇴화차수 (Nullity): 영공간의 차원 7.5 선형연립방정식의 해 : 존재성, 유일성 . 선형연립방정식에 대한 기본정리 . 존재성(Existence) : 선형연립방정식이 모순이 없기 위한 (Consistent), 다시 말해서 해를 갖기 위한 , 필요충분조건은 계수행렬과 첨가행렬이 같은 계수를 갖는 것이다 . . 유일성(Uniqueness) : 선형연립방정식이 유일한 해를 갖기 위한 필요충분조건은 계수행렬과 첨가행 렬이 같은 계수를 갖는 것이다 . . 무수히 많은 해 (Infinitely Many Solutions) : 계수행렬의 계수가 미지수의 개수보다 작으면 무수히 많은 해가 존재 . Gauss 소거법(Gauss Elimination) : 해가 존재하면 Gauss 소거법에 의해 모두 구해질 수 있다 . 7.5 선형연립방정식의 해 : 존재성, 유일성 . 제차연립방정식 . 제차연립방정식은 항상 자명한 해 (Trivial Solution)을 갖는다 . 계수행렬의 계수 = r, 미지수의 갯수 = n라 하자 . . 자명하지 않은 해가 존재할 필요충분조건 : r < n . r < n 이면 해공간은 n-r 차원 벡터공간이다 . . 제차연립방정식의 두 해벡터의 일차결합도 제차연립방정식의 해이다 . . 미지수보다 방정식의 수가 적은 제차 선형연립방정식 방정식의 수가 미지수의 수보다 적은 제차연립방정식은 항상 자명하지 않은 해 (Nontrivial Solution)를 갖는다 . . 비제차연립방정식 만약 비제차 연립방정식이 해를 갖는다면 모든 해는 와 같은 형태가 된다 . 은 고정된 임의의 해이고 0x 는 대응하는 제차연립방정식의 모든 해를 대표한다 . hx 7.6 참고사항 : 2 차및 3차 행렬식 . 2차 행렬식 (Determinant of Second Order) . 선형연립방정식 Cramer 의 법칙 ..2112221122211211detaaaaaaaaD....A 22221211212111bxaxabxaxa .. .. DabbaDbabaxDbaabDababx21121122111122122212221211 . .. . .. 0.D 7.6 .. 221331231231331221321321322311332211232213123133321312213332232211333231232221131211 detaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaD ...... ... ..A7.6 참고사항: 2 차및3차행렬식 7.6 참고사항 : 2 차및 3차 행렬식 . 선형연립방정식 333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa ... ... ... Cramer 의법칙 DDxDDxDDx332211 , ,... 332312222111211333331232211311123332323222131211 , , baabaabaaDabaabaabaDaabaabaabD... 0.D 7.7 행렬식. Cramer 의 법칙 . n차 행렬식 (Determinant of Third Order) .. nnnnnnaaaaaaaaaD . .... . . 212222111211det..A .. .. 1122 1, 2, , , 1, 1kkkknknkjkjkjkjkDaCaCaCknCMMn . ..... ... 또는는차의 행렬식 . 소행렬식 (Minor): . 여인수(Cofactor): jkMjkC 7.7 행렬식. Cramer 의 법칙 . 기본행연산항 (Elementary Row Operation)에서의 n차 행렬식의 양태 . 두 행을 바꾸는 것은 행렬식의 값에 -1 을 곱하는 것이다 . . 한 행의 상수배를 다른 행에 더하는 것은 행렬식의 값에 변화를 주지 않는다 . . 한 행에 상수를 곱하는 것은 행렬식의 값에 상수를 곱하는 것이다 . 7.7 행렬식. Cramer 의 법칙 . 추가적인 n차 행렬식의 성질 . 두 열을 바꾸는 것은 행렬식의 값에 -1 을 곱하는 것이다 . . 한 열의 상수배를 다른 열에 더하는 것은 행렬식의 값에 변화를 주지 않는다 . . 한 열에 상수를 곱하는 것은 행렬식의 값에 상수를 곱하는 것이다 . . 전치(Transposition)는 행렬식의 값에 변화를 주지 않는다 . . 0행 또는 0열은 행렬식의 값을 0으로 만든다 . . 같은 비율의 행 또는 열은 행렬식의 값을 0으로 만든다 . 7.7 행렬식. Cramer 의 법칙 . 행렬식에 의한 계수 m×n 행렬 ..jka.A가계수 r(≥1)을 갖기 위한 필요충분조건은 A의 r×r 부분행렬의 행렬식은 0이 되지 않는 반면 , A의 또는그이상의행을갖는모든정방 부분행렬의 행렬식은 0 이 되는 것이다 . 특히, A 가 정방행렬 n×n일때 , 계수가 n일 필요충분조건은 이다. . Cramer 의 정리 (행렬식에 의한 선형연립방정식의 해 ) nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa .... .... .... . ............ . . 22112222212111212111Cramer 의법칙 DDxDDxDDxnn... , , ,2211. 0.D kD 는 D의 k번째열을 인원소로갖는열로대치하여얻은행렬식 7.8 역행렬. Gauss-Jordan 소거법 . 역행렬(Inverse Matrix) . 정칙행렬 (Nonsingular Matrix): 역행렬을 갖는 경우 . 특이행렬 (Singular Matrix): 역행렬을 갖지 않는 경우 . 역행렬을 가지면 그 역행렬은 유일하다 . . 역행렬의 존재성 A가 n×n행렬일 때 , 역행렬 이존재 .. .. rank rank nn .. .. AAAA는 정칙행렬는 특이행렬 7.8 역행렬. Gauss-Jordan 소거법 . Gauss-Jordan 소거법에 의한 역행렬의 결정 Gauss 소거법 . Ex.1 . . . . . . . . . . . . . . 431113211A . 역행렬에대한유용한식 11211122221121112221212122211111 detdet det 1 detnnjkjknnnnjkjknnaaaaaaaaaa . . .. .. ................ .. .. ..... ...... ..... CCCCCCAACAACCCCAAAA 행렬의 역행렬은는에서의 여인수의 역행렬은7.8 역행렬. Gauss-Jordan 소거법 . Ex.3 . . . . . . . . . . . . . . 431113211A .. . . . . . . . . . . . .. . .... . . .. . . ... . . . . . .... . . ... . . . . ...... . ......... . 2.02.08.07.02.03.13.02.07.0 21311 ,23111 ,83113 ,71321 ,24121 ,134113 ,31121 ,24321 ,74311 ,108213171det1332313322212312111ACCCCCCCCCA7.8 역행렬. Gauss-Jordan 소거법 7.8 역행렬. Gauss-Jordan 소거법 . 대각행렬의 역행렬 대각행렬 의 역행렬이 존재 행렬 대각원소인 이1 , ,1 은nnaa . 111.A . Ex.4 . . . . . . . . . .. . 100040005.0A . . . . . . . . . .. .. 100025.000021A . 두 행렬의 곱 : .. ..11111111 ..... ... . . ACPQPQACACAC .. . 역행렬의 역행렬 : 7.8 역행렬. Gauss-Jordan 소거법 . 행렬의 곱에 대한 특이 성질 . 약분법 . 행렬의 곱은 교환법칙이 성립하지 않는다 . (일반적으로 성립하지 않는다 .) . 0AB. 일때 0A. 또는 0B. 이 아닐 수도 있다 . Ex. .. . .. . ... . .. . . . .. . .. . 000011112211 . 일때 DC. 일 수도 있다 (심지어 0A. 일 때에도 ). 7.8 역행렬. Gauss-Jordan 소거법 . 약분법칙 . rankA = n이고 AB = AC 이면, B = C 이다. . rankA = n 이면 AB = 0 은 B = 0 을 의미한다 . . A가 특이행렬이면 AB와 BA도 또한 특이행렬이다 . . 행렬곱의 행렬식 : 7.9 벡터공간 , 내적공간 , 일차변환 . 실벡터공간 (Real Vector Space) . 벡터의 덧셈 : ba. .... .. (Commutativity) (Associativity) (Zero Vector) ... ..... .. ... abbauvwuvwa0aaa0가환성결합성영벡터 . 스칼라곱 : ak .. .. .... (Distributivity) (Distributivity) (Associativity) 1cccckckckck ... ... . . ababaaaaaaa분배성분배성결합성 7.9 벡터공간 , 내적공간 , 일차변환 . 실내적공간 (Real Inner Product Space) 내적(Inner Product) : ...... .... .. .. 12121. 2. 3. 0, 0 0qqqq... . . .. ab,ca,cb,ca,bb,aa,aa,aa 선형성대칭성양의 정치성일 필요충분조건은..ba, . 직교(Orthogonal): 내적이 영인 두 벡터 . 벡터의 길이 또는 노름 (Norm): . 단위벡터 (Unit Vector): 길이가 1인 벡터 7.9 벡터공간 , 내적공간 , 일차변환 . 기본부등식 . Cauchy-Schwarz 부등식 : . 삼각부등식 : . 평행사변형 등식 : ..22222.....ababab 7.9 벡터공간 , 내적공간 , 일차변환 . 일차변환 (Linear Transformations) . X에서 Y로의 사상 또는 변환 , 연산자 : 공간 X의 벡터 x에 대하여 공간 Y의 유일한 벡터 y를 대응 . F를 선형사상 또는 일차변환 : X 의 임의의 벡터 v, x 와 임의의 스칼라 c에 대하여 다음의 식을 만족 ...... .... FFFFccF .... .. vxvxxx . 공간에서 공간으로의 일차변환 . 일차변환은 선형이다 . . 일차변환 F 는 m×n 행렬 A에 의해 주어진다 .