선형모형과 행렬대수

<

선형모형과행렬대수선형모형과행렬대수 .선형모형과행렬대수 .개요 .단일상품(one-commodity) 또는2상품(two-commodity) 모형의경우에는해를구하는것은상대적으로단순함. .그러나상품의수가많아지면대규모연립방정식체계를자유롭게다룰수있는적절한방법이없음. .여기에행렬(matrix) 의필요성이있음. .선형모형과행렬대수 .개요 .단일상품(one-commodity) 또는2상품(two-commodity) 모형의경우에는해를구하는것은상대적으로단순함. .그러나상품의수가많아지면대규모연립방정식체계를자유롭게다룰수있는적절한방법이없음. .여기에행렬(matrix) 의필요성이있음. .선형모형과행렬대수 .행렬대수(matrix algebra) 의용도 .행렬의필요성(장점) : -대규모방정식체계를간결하게제시-행렬식(determinant) 의계산을통해해의존재유무를검증하는방법을제시-( 만일해가존재하면) 그해를구하는방법을제공 .행렬의한계(단점) : -행렬대수는선형방정식체계(linear equation system) 인경우에만적용가능 .선형모형과행렬대수 .행렬대수(matrix algebra) 의용도 .행렬의필요성(장점) : -대규모방정식체계를간결하게제시-행렬식(determinant) 의계산을통해해의존재유무를검증하는방법을제시-( 만일해가존재하면) 그해를구하는방법을제공 .행렬의한계(단점) : -행렬대수는선형방정식체계(linear equation system) 인경우에만적용가능 .선형모형과행렬대수 .행렬대수(matrix algebra) .선형방정식체계로의변환(transformation) : 선형방정식이아닌경우선형방정식으로변환하거나, 선형으로근사시킴(linear approximation). .선형방정식으로변환(transformation) : -비선형함수(non-linear function) y=axb -양변에로그(log) 를취함으로써다음의선형함수로변환log y=log a + b log x -위식은두변수(log y) 와(log x) 에관한선형함수임. .선형모형과행렬대수 .행렬대수(matrix algebra) .선형방정식체계로의변환(transformation) : 선형방정식이아닌경우선형방정식으로변환하거나, 선형으로근사시킴(linear approximation). .선형방정식으로변환(transformation) : -비선형함수(non-linear function) y=axb -양변에로그(log) 를취함으로써다음의선형함수로변환log y=log a + b log x -위식은두변수(log y) 와(log x) 에관한선형함수임. .선형모형과행렬대수 .행렬대수(matrix algebra) .선형으로의근사(linear approximation) : 비선형곡선을일정범위내에서선형(직선)으로근사 .선형모형과행렬대수 .행렬대수(matrix algebra) .선형으로의근사(linear approximation) : 비선형곡선을일정범위내에서선형(직선)으로근사 .선형모형과행렬대수 .행렬(matrix) .행렬(matrix) : 숫자, 파라미터또는변수를직사각형으로순서있게배열하여대괄호(또는괄호혹은겹세로선)로묶은것-행렬기호: [ ], ( ), ∥∥ .원소(element) 또는성분(component, entry) : 행렬을구성하는대괄호안의숫자, 파라미터또는변수 .선형모형과행렬대수 .행렬(matrix) .행렬(matrix) : 숫자, 파라미터또는변수를직사각형으로순서있게배열하여대괄호(또는괄호혹은겹세로선)로묶은것-행렬기호: [ ], ( ), ∥∥ .원소(element) 또는성분(component, entry) : 행렬을구성하는대괄호안의숫자, 파라미터또는변수 .선형모형과행렬대수 .행렬(matrix) .행(row) : 행렬에서가로줄을행이라하고, 위로부터차례로제1행, 제2행, ... 이라함. .열(column) : 행렬에서세로줄을행이라하고, 왼쪽부터차례로제1열, 제2열, ... 이라함. .행렬은보통대문자로행렬의원소는소문자로표시A=[aij] .선형모형과행렬대수 .행렬(matrix) .행(row) : 행렬에서가로줄을행이라하고, 위로부터차례로제1행, 제2행, ... 이라함. .열(column) : 행렬에서세로줄을행이라하고, 왼쪽부터차례로제1열, 제2열, ... 이라함. .행렬은보통대문자로행렬의원소는소문자로표시A=[aij] .선형모형과행렬대수 .행렬과벡터(matrix and vectors ) .일반적으로n개의변수(x1, x2, ..., xn)를갖는m개의식으로이루어지는선형방정식체계는다음과같은형태로정리됨. a11x1+a12x2+ ... +a1nxn=d1 a21x1+a22x2+ ... +a2nxn=d2 ……………………………. am1x1+am2x2+ ... +amnxn=dn .위식을세가지구성요소로나누어배열하면, 첫번째는계수aij들의집합이고,두번째는변수x1,x2, ...,xn의집합이며, 마지막은상수항d1, d2, ..., dn의집합임. .선형모형과행렬대수 .행렬과벡터(matrix and vectors ) .일반적으로n개의변수(x1, x2, ..., xn)를갖는m개의식으로이루어지는선형방정식체계는다음과같은형태로정리됨. a11x1+a12x2+ ... +a1nxn=d1 a21x1+a22x2+ ... +a2nxn=d2 ……………………………. am1x1+am2x2+ ... +amnxn=dn .위식을세가지구성요소로나누어배열하면, 첫번째는계수aij들의집합이고,두번째는변수x1,x2, ...,xn의집합이며, 마지막은상수항d1, d2, ..., dn의집합임. .선형모형과행렬대수 .이들세집합을3개의직사각형배열로정돈하고, 그배열각각을A, x, d 라고하면, 다음과같은형태로정리됨. a11 a12 ... a1n x1 d1 a21 a22 ... a2n x2 d2 ……………….. . . am1 am2 ... amn xn dm .이3개의배열은각각하나의행렬(matrix) 을이룸. 따라서행렬은파라미터(계수), 변수또는상수를직사각형으로배열한것으로정의A= x= d= .배열로서의행렬 .선형모형과행렬대수 .이들세집합을3개의직사각형배열로정돈하고, 그배열각각을A, x, d 라고하면, 다음과같은형태로정리됨. a11 a12 ... a1n x1 d1 a21 a22 ... a2n x2 d2 ……………….. . . am1 am2 ... amn xn dm .이3개의배열은각각하나의행렬(matrix) 을이룸. 따라서행렬은파라미터(계수), 변수또는상수를직사각형으로배열한것으로정의A= x= d= .배열로서의행렬 .선형모형과행렬대수 .배열로서의행렬 .여기서행렬A(방정식체계의계수행렬)의각원소는콤마(,)가아니라여백에의해서구분 .행렬A의배열은간단히다음과같이나타낼수있음. A=[aij] (i=1, 2, ..., m; j=1, 2, ..., n) .행렬에서각원소의위치는하첨자에의해명확하게결정되기때문에, 각각의행렬은하나의순서집합임. .선형모형과행렬대수 .배열로서의행렬 .여기서행렬A(방정식체계의계수행렬)의각원소는콤마(,)가아니라여백에의해서구분 .행렬A의배열은간단히다음과같이나타낼수있음. A=[aij] (i=1, 2, ..., m; j=1, 2, ..., n) .행렬에서각원소의위치는하첨자에의해명확하게결정되기때문에, 각각의행렬은하나의순서집합임. .선형모형과행렬대수 .예로서, 선형방정식체계는다음과같다고함. 6x1+3x2+ x3=22 x1+4x2-2x3=12 4x1 -x2+5x3=10 .위식을세가지구성요소로나누어배열하면, 6 3 1 x1 22 1 4 -2 x2 12 4 -1 5 x3 10 .각배열은하나의행렬을이룸. A= x= d= .예제: 선형방정식체계 .선형모형과행렬대수 .예로서, 선형방정식체계는다음과같다고함. 6x1+3x2+ x3=22 x1+4x2-2x3=12 4x1 -x2+5x3=10 .위식을세가지구성요소로나누어배열하면, 6 3 1 x1 22 1 4 -2 x2 12 4 -1 5 x3 10 .각배열은하나의행렬을이룸. A= x= d= .예제: 선형방정식체계 .선형모형과행렬대수 .특수한행렬로서의벡터 .행렬의차원(dimension) : 행렬의차원은그행렬을구성하는행(row) 의수와열(column) 의수로정의 .앞에서행렬A는m개의행과n개의열을포함하므로m.n차원(m by n) 이라고함. .차원은항상행을먼저, 열을뒤에표시함. .특히, m=n 인행렬을정방행렬(square matrix) 이라함. (앞의예제계수행렬인행렬A : 3.3 정방행렬) .선형모형과행렬대수 .특수한행렬로서의벡터 .행렬의차원(dimension) : 행렬의차원은그행렬을구성하는행(row) 의수와열(column) 의수로정의 .앞에서행렬A는m개의행과n개의열을포함하므로m.n차원(m by n) 이라고함. .차원은항상행을먼저, 열을뒤에표시함. .특히, m=n 인행렬을정방행렬(square matrix) 이라함. (앞의예제계수행렬인행렬A : 3.3 정방행렬) .선형모형과행렬대수 .특수한행렬로서의벡터 .행벡터(row vector) : 하나의행(row) 으로만구성된행렬-행벡터는프라임기호(.)를사용하여열벡터와구분x.=[x1 x2 ... xn] : 1.n .열벡터(column vector) : 하나의열(column) 로만구성된행렬(앞의행렬에서x와d : n.1, m.1, 3.1) .선형모형과행렬대수 .특수한행렬로서의벡터 .행벡터(row vector) : 하나의행(row) 으로만구성된행렬-행벡터는프라임기호(.)를사용하여열벡터와구분x.=[x1 x2 ... xn] : 1.n .열벡터(column vector) : 하나의열(column) 로만구성된행렬(앞의행렬에서x와d : n.1, m.1, 3.1) .선형모형과행렬대수 .특수한행렬로서의벡터 .앞에서정의된행렬을이용하면, 선형방정식체계는다음과같이간단하게나타낼수있음: Ax=d .그러나여기서다음의두가지의문이제기됨: -두개의행렬A와x를어떻게곱하는가? -Ax와d가같다는것은무엇을의미하는가? .대수연산규칙은그대로행렬의연산에적용할수없음. 따라서새로운연산규칙이필요함. .선형모형과행렬대수 .특수한행렬로서의벡터 .앞에서정의된행렬을이용하면, 선형방정식체계는다음과같이간단하게나타낼수있음: Ax=d .그러나여기서다음의두가지의문이제기됨: -두개의행렬A와x를어떻게곱하는가? -Ax와d가같다는것은무엇을의미하는가? .대수연산규칙은그대로행렬의연산에적용할수없음. 따라서새로운연산규칙이필요함. .행렬연산(matrix operation) .항등관계(상등관계: equality) .두행렬A=[aij]와B=[bij]가서로같으려면(같은꼴) 두행렬의차원이같아야하고, 또한대응하는원소들이모두같아야함. .즉, A=B 이기위한필요충분조건은모든I, j 에대해서aij=bij가성립해야함. 4 3 4 3 2 0 2 0 2 0 4 3 .항등관계란행렬의차원(m.n) 이같고, 각각대응하는원소의값이모두같다는것을의미함. .= .행렬연산(matrix operation) .항등관계(상등관계: equality) .두행렬A=[aij]와B=[bij]가서로같으려면(같은꼴) 두행렬의차원이같아야하고, 또한대응하는원소들이모두같아야함. .즉, A=B 이기위한필요충분조건은모든I, j 에대해서aij=bij가성립해야함. 4 3 4 3 2 0 2 0 2 0 4 3 .항등관계란행렬의차원(m.n) 이같고, 각각대응하는원소의값이모두같다는것을의미함. .= .행렬연산(matrix operation) .행렬의덧셈과뺄셈(addition and subtraction) .두행렬의덧셈연산은두행렬의차원이동일해야함. .덧셈연산은두행렬의각각의대응원소쌍을더하는것임. [aij]+[bij]=[cij] 단, cij=aij+bij .여기서유의할점은합행렬(sum matrix) [cij]의차원은합해지는행렬[aij] 및[bij]의차원과동일하다는것임. .행렬연산(matrix operation) .행렬의덧셈과뺄셈(addition and subtraction) .두행렬의덧셈연산은두행렬의차원이동일해야함. .덧셈연산은두행렬의각각의대응원소쌍을더하는것임. [aij]+[bij]=[cij] 단, cij=aij+bij .여기서유의할점은합행렬(sum matrix) [cij]의차원은합해지는행렬[aij] 및[bij]의차원과동일하다는것임. .행렬연산(matrix operation) .행렬의덧셈과뺄셈(addition and subtraction) .두행렬의뺄셈연산도두행렬의차원이동일해야함. .뺄셈연산은두행렬의각각의대응원소쌍을빼는것임. [aij]-[bij]=[dij] 단, dij=aij-bij .뺄셈A-B 는행렬A와또다른행렬(-1)B 의덧셈으로생각할수있음. A-B=A+(-1)B .행렬연산(matrix operation) .행렬의덧셈과뺄셈(addition and subtraction) .두행렬의뺄셈연산도두행렬의차원이동일해야함. .뺄셈연산은두행렬의각각의대응원소쌍을빼는것임. [aij]-[bij]=[dij] 단, dij=aij-bij .뺄셈A-B 는행렬A와또다른행렬(-1)B 의덧셈으로생각할수있음. A-B=A+(-1)B .행렬연산(matrix operation) .스칼라곱셈(scalar multiplication) .행렬에어떤수(행렬대수용어로스칼라)를곱한다는것은모든원소에그스칼라(scalar) 를곱하는것임. .수, 변수등은행렬과구분하기위해서스칼라라고함. .스칼라는행렬의스케일(크기)을일정배수로확대또는축소(scales up or down) 시킴. A=[aij]m.n .kA=[kaij]m.n .스칼라는음수일수도있음. A=[aij]m.n .-1A=[-aij]m.n .행렬연산(matrix operation) .스칼라곱셈(scalar multiplication) .행렬에어떤수(행렬대수용어로스칼라)를곱한다는것은모든원소에그스칼라(scalar) 를곱하는것임. .수, 변수등은행렬과구분하기위해서스칼라라고함. .스칼라는행렬의스케일(크기)을일정배수로확대또는축소(scales up or down) 시킴. A=[aij]m.n .kA=[kaij]m.n .스칼라는음수일수도있음. A=[aij]m.n .-1A=[-aij]m.n .행렬연산(matrix operation) .스칼라곱셈(scalar multiplication) .행렬A와B가서로같은꼴이고, 여기서s와t를스칼라라고하면다음과같이정리됨. (st)A=s(tA) (s+t)A=sA+tA s(A+B)=sA+sB .행렬에스칼라-1 을곱하는것은방정식체계의모든항부호를바꾸는셈이됨. -1A=[-aij] .행렬연산(matrix operation) .스칼라곱셈(scalar multiplication) .행렬A와B가서로같은꼴이고, 여기서s와t를스칼라라고하면다음과같이정리됨. (st)A=s(tA) (s+t)A=sA+tA s(A+B)=sA+sB .행렬에스칼라-1 을곱하는것은방정식체계의모든항부호를바꾸는셈이됨. -1A=[-aij] .행렬연산(matrix operation) .행렬끼리의곱셈(multiplication) .스칼라곱은어떤차원을갖는행렬에도곱할수있음. .그러나행렬간의곱셈은차원상의어떤조건을만족시켜야함. .이들곱이성립하기위한적합성조건(conformability condition)이라함: -두행렬A, B 의곱AB가성립하기위한적합성조건은A(앞행렬)의열(column)의차원이B(뒤행렬)의행(row) 의차원과같아야함. .행렬연산(matrix operation) .행렬끼리의곱셈(multiplication) .스칼라곱은어떤차원을갖는행렬에도곱할수있음. .그러나행렬간의곱셈은차원상의어떤조건을만족시켜야함. .이들곱이성립하기위한적합성조건(conformability condition)이라함: -두행렬A, B 의곱AB가성립하기위한적합성조건은A(앞행렬)의열(column)의차원이B(뒤행렬)의행(row) 의차원과같아야함. .행렬연산(matrix operation) .행렬끼리의곱셈(multiplication) -예를들면, 다음과같은조건일때두행렬의곱이가능함. b11 b12 b13A=[a11 a12]1.2 B= b21 b22 b23 2.3 -그러나행렬곱BA는정의되지않음. b11 b12 b13B= A=[a11 a12]1.2b21 b22 b23 2.3 -왜냐하면B(앞행렬)의열의수는3이고A(뒤행렬)의행의수는1이되어곱의적합성조건이만족되지않기때문임. .행렬연산(matrix operation) .행렬끼리의곱셈(multiplication) -예를들면, 다음과같은조건일때두행렬의곱이가능함. b11 b12 b13A=[a11 a12]1.2 B= b21 b22 b23 2.3 -그러나행렬곱BA는정의되지않음. b11 b12 b13B= A=[a11 a12]1.2b21 b22 b23 2.3 -왜냐하면B(앞행렬)의열의수는3이고A(뒤행렬)의행의수는1이되어곱의적합성조건이만족되지않기때문임. .행렬연산(matrix operation) .행렬끼리의곱셈(multiplication) .일반적으로행렬A가m.n차원이고행렬B가p.q차원이면, 행렬곱AB가정의되기위한필요충분조건은n=p임. A=[aij]m.n B=[bij]p.q .또한두행렬의곱이정의되면행렬곱AB의차원은m.q가됨. A=[aij]m.n B=[bij]p.q AB=C=[cij]m.q .행렬연산(matrix operation) .행렬끼리의곱셈(multiplication) .일반적으로행렬A가m.n차원이고행렬B가p.q차원이면, 행렬곱AB가정의되기위한필요충분조건은n=p임. A=[aij]m.n B=[bij]p.q .또한두행렬의곱이정의되면행렬곱AB의차원은m.q가됨. A=[aij]m.n B=[bij]p.q AB=C=[cij]m.q .행렬연산(matrix operation) .행렬끼리의곱셈(multiplication) .1.n 행렬과n.1 행렬의경우, 두행렬에서행렬곱이정의되고, 행렬곱AB의차원은1.1으로기대됨. b1 b2 . bn n.1 -위의두행렬의행렬곱AB=a1b1+a2b2+ ... +anbn A=[a1 a2 ... an]1.n B= .행렬연산(matrix operation) .행렬끼리의곱셈(multiplication) .1.n 행렬과n.1 행렬의경우, 두행렬에서행렬곱이정의되고, 행렬곱AB의차원은1.1으로기대됨. b1 b2 . bn n.1 -위의두행렬의행렬곱AB=a1b1+a2b2+ ... +anbn A=[a1 a2 ... an]1.n B= .행렬연산(matrix operation) .행렬끼리의곱셈(multiplication) .두행렬에서행렬곱이정의되고, 행렬곱의차원이1.3 로기대됨. b11 b12 b13A=[a11 a12]1.2 B= b21 b22 b23 2.3 -위의예에서AB=C=[c11 c12 c13]1.3 c11=a11b11+a12b21 c12=a11b12+a12b22 c13=a11b13+a12b23 .행렬연산(matrix operation) .행렬끼리의곱셈(multiplication) .두행렬에서행렬곱이정의되고, 행렬곱의차원이1.3 로기대됨. b11 b12 b13A=[a11 a12]1.2 B= b21 b22 b23 2.3 -위의예에서AB=C=[c11 c12 c13]1.3 c11=a11b11+a12b21 c12=a11b12+a12b22 c13=a11b13+a12b23 .행렬연산(matrix operation) .두벡터의내적(內積: inner product) .n개의원소를가진벡터u=(u1, u2, ..., un)과v=(v1, v2, ..., vn)이두행또는두열, 또는한행과한열로배열되면, u.v로표시되는내적은다음과같이정의됨. u.v=u1v1+u2v2+ ... +unvn .이것은대응하는원소들의곱들의합이고, 따라서두벡터의내적은스칼라가됨. .행렬연산(matrix operation) .두벡터의내적(內積: inner product) .n개의원소를가진벡터u=(u1, u2, ..., un)과v=(v1, v2, ..., vn)이두행또는두열, 또는한행과한열로배열되면, u.v로표시되는내적은다음과같이정의됨. u.v=u1v1+u2v2+ ... +unvn .이것은대응하는원소들의곱들의합이고, 따라서두벡터의내적은스칼라가됨. .행렬연산(matrix operation) .두벡터의내적(內積: inner product) .행렬연산(matrix operation) .두벡터의내적(內積: inner product) .행렬연산(matrix operation) .두벡터의내적(內積: inner product) .n개의상품을산후, 이n개상품의구입량을행벡터Q.=[Q1 Q2 ... Qn]으로배열하고, 이들상품의가격을가격벡터P.=[P1 P2 ... Pn]으로배열하면, 이두벡터의내적(inner product) 은다음과같음. Q..P.=Q1P1+Q2P2+ ... +QnPn : 총구입비용 .이러한개념을사용하면, 곱행렬C=AB의원소cij는앞행렬A의i번째행과뒤행렬B의j번째열의내적이라할수있음. .행렬연산(matrix operation) .두벡터의내적(內積: inner product) .n개의상품을산후, 이n개상품의구입량을행벡터Q.=[Q1 Q2 ... Qn]으로배열하고, 이들상품의가격을가격벡터P.=[P1 P2 ... Pn]으로배열하면, 이두벡터의내적(inner product) 은다음과같음. Q..P.=Q1P1+Q2P2+ ... +QnPn : 총구입비용 .이러한개념을사용하면, 곱행렬C=AB의원소cij는앞행렬A의i번째행과뒤행렬B의j번째열의내적이라할수있음. .행렬연산(matrix operation) .나눗셈의문제 .행렬은숫자와마찬가지로덧셈, 뺄셈및곱셈이가능하지만, 나눗셈은불가능. 하나의행렬은다른행렬로나누는것은불가능함. 즉, A/B 는성립하지않음. .두수a, b 에대하여몫a/b(b.0)는ab-1 또는b-1a로나타낼수있음(여기서b-1 는b의역수(inverse or reciprocal) 임). .행렬의경우에는어떤특수한경우에만행렬B의역이되는역행렬(inverse matrix) B-1 가정의됨. .행렬연산(matrix operation) .나눗셈의문제 .행렬은숫자와마찬가지로덧셈, 뺄셈및곱셈이가능하지만, 나눗셈은불가능. 하나의행렬은다른행렬로나누는것은불가능함. 즉, A/B 는성립하지않음. .두수a, b 에대하여몫a/b(b.0)는ab-1 또는b-1a로나타낼수있음(여기서b-1 는b의역수(inverse or reciprocal) 임). .행렬의경우에는어떤특수한경우에만행렬B의역이되는역행렬(inverse matrix) B-1 가정의됨. .벡터연산에관한주석 .벡터끼리의곱셈(multiplication) .벡터는행렬의특수한형태임. .벡터는그차원상의특수성때문에벡터연산에관한몇가지추가적인주석이필요함. .m.1 열벡터u와1.n 행벡터v.의곱행렬uv.의차원은m.n이됨. .벡터연산에관한주석 .벡터끼리의곱셈(multiplication) .벡터는행렬의특수한형태임. .벡터는그차원상의특수성때문에벡터연산에관한몇가지추가적인주석이필요함. .m.1 열벡터u와1.n 행벡터v.의곱행렬uv.의차원은m.n이됨. .벡터연산에관한주석 .벡터끼리의곱셈(multiplication) .아래u의각행과v.의각열은오직한개의원소로만이루어졌기때문에uv.의각원소는곱들의합이아니라, 단하나의곱이됨. 즉, 두개의벡터이지만곱uv.은하나의2.3차원의행렬이됨. 3 u= v.=[1 4 5]1.32 2.1 3(1) 3(4) 3(5) 3 12 15 uv.= = 2(1) 2(4) 2(5) 2 8 10 2.3 .벡터연산에관한주석 .벡터끼리의곱셈(multiplication) .아래u의각행과v.의각열은오직한개의원소로만이루어졌기때문에uv.의각원소는곱들의합이아니라, 단하나의곱이됨. 즉, 두개의벡터이지만곱uv.은하나의2.3차원의행렬이됨. 3 u= v.=[1 4 5]1.32 2.1 3(1) 3(4) 3(5) 3 12 15 uv.= = 2(1) 2(4) 2(5) 2 8 10 2.3 .벡터연산에관한주석 .벡터끼리의곱셈(multiplication) .1.n 행벡터u.과n.1 열벡터v가주어지면, 벡터의곱u.v의차원은1.1이됨. 9 u.=[3 4]1.2 v= 7 2.1 u.v=[3(9)+4(7)]=[27+28]=[55]1.1 .1.1 행렬은덧셈과뺄셈에서스칼라와동일한특성을가짐. [4]+[8]=[12], [5]-[2]=3, [3][7]=[21] .벡터연산에관한주석 .벡터끼리의곱셈(multiplication) .1.n 행벡터u.과n.1 열벡터v가주어지면, 벡터의곱u.v의차원은1.1이됨. 9 u.=[3 4]1.2 v= 7 2.1 u.v=[3(9)+4(7)]=[27+28]=[55]1.1 .1.1 행렬은덧셈과뺄셈에서스칼라와동일한특성을가짐. [4]+[8]=[12], [5]-[2]=3, [3][7]=[21] .벡터연산에관한주석 .벡터끼리의곱셈(multiplication) .행벡터가u.=[3 6 9]일때, u.u를구하면다음과같음. 3 u.=[3 6 9] u= 6 9 u.u=(3)2+(6)2+(9)2=126 .스칼라곱은앞행렬로서행벡터를가져야하고, 뒤행렬로서열벡터를가져야만함. 그래야만1.1이됨. .벡터연산에관한주석 .벡터끼리의곱셈(multiplication) .행벡터가u.=[3 6 9]일때, u.u를구하면다음과같음. 3 u.=[3 6 9] u= 6 9 u.u=(3)2+(6)2+(9)2=126 .스칼라곱은앞행렬로서행벡터를가져야하고, 뒤행렬로서열벡터를가져야만함. 그래야만1.1이됨. .벡터연산에관한주석 .벡터연산의기하학적해석(geometric interpretation) .스칼라곱은두벡터u와v의각화살표끝의위치를변경시키고, 두벡터의덧셈은평행사변형을구성함. .벡터연산에관한주석 .벡터연산의기하학적해석(geometric interpretation) .스칼라곱은두벡터u와v의각화살표끝의위치를변경시키고, 두벡터의덧셈은평행사변형을구성함. .교환법칙, 결합법칙, 분배법칙 .스칼라대수(scalar algebra) .통상적인스칼라대수에서덧셈과곱셈은교환법칙(commutative law), 결합법칙(associative law), 분배법칙(distributive law) 을만족-덧셈의교환법칙: a+b=b+a -곱셈의교환법칙: ab=ba -덧셈의결합법칙: (a+b)+c=a+(b+c) -곱셈의결합법칙: (ab)c=a(bc) -분배법칙: a(b+c)=ab+ac .교환법칙, 결합법칙, 분배법칙 .스칼라대수(scalar algebra) .통상적인스칼라대수에서덧셈과곱셈은교환법칙(commutative law), 결합법칙(associative law), 분배법칙(distributive law) 을만족-덧셈의교환법칙: a+b=b+a -곱셈의교환법칙: ab=ba -덧셈의결합법칙: (a+b)+c=a+(b+c) -곱셈의결합법칙: (ab)c=a(bc) -분배법칙: a(b+c)=ab+ac .교환법칙, 결합법칙, 분배법칙 .행렬의덧셈 .행렬의덧셈은교환법칙뿐만아니라결합법칙도성립-교환법칙: A+B=B+A .A+B=[aij]+[bij]=[aij+bij]=[bij+aij]=B+A -결합법칙: (A+B)+C=A+(B+C) .(A+B)+C=[aij+bij]+[cij]=[aij+bij+cij] =[aij]+[bij+cij]=A+(B+C) .교환법칙, 결합법칙, 분배법칙 .행렬의덧셈 .행렬의덧셈은교환법칙뿐만아니라결합법칙도성립-교환법칙: A+B=B+A .A+B=[aij]+[bij]=[aij+bij]=[bij+aij]=B+A -결합법칙: (A+B)+C=A+(B+C) .(A+B)+C=[aij+bij]+[cij]=[aij+bij+cij] =[aij]+[bij+cij]=A+(B+C) .교환법칙, 결합법칙, 분배법칙 .행렬의곱셈 .행렬의곱셈은교환법칙을만족하지않지만결합법칙은만족-교환법칙: AB.BA -예외: A 가정방행렬, B 가항등행렬인경우, A가B의역행렬(A=B-1)인경우-그러나행렬의스칼라곱은교환법칙을반드시만족kA=Ak -결합법칙: (AB)C=A(BC) 인접한한쌍의행렬은적합성조건을충족해야함. .A가m.n이고C가p.q이면, B는n.p이어야함. .교환법칙, 결합법칙, 분배법칙 .행렬의곱셈 .행렬의곱셈은교환법칙을만족하지않지만결합법칙은만족-교환법칙: AB.BA -예외: A 가정방행렬, B 가항등행렬인경우, A가B의역행렬(A=B-1)인경우-그러나행렬의스칼라곱은교환법칙을반드시만족kA=Ak -결합법칙: (AB)C=A(BC) 인접한한쌍의행렬은적합성조건을충족해야함. .A가m.n이고C가p.q이면, B는n.p이어야함. .교환법칙, 결합법칙, 분배법칙 .행렬의곱셈 .행렬의곱셈은분배법칙을만족-분배법칙: A(B+C)=AB+AC (pre-multiply by A) (B+C)A=BA+CA (post-multiply by A) -단, 덧셈과곱셈의적합성조건이충족되어야함. .교환법칙, 결합법칙, 분배법칙 .행렬의곱셈 .행렬의곱셈은분배법칙을만족-분배법칙: A(B+C)=AB+AC (pre-multiply by A) (B+C)A=BA+CA (post-multiply by A) -단, 덧셈과곱셈의적합성조건이충족되어야함. .항등행렬과영행렬 .항등행렬(identity matrix) .항등행렬(identity matrix) 은주대각선의원소가모두1이고, 비대각원소는모두0인정방행렬(square matrix) 로기호I 또는In으로표시-단위행렬(unit matrix) 이라고도함. -여기서하첨자n은행이나열의차원을나타냄. 1 0 0 I3 = 0 1 0 0 0 1 .항등행렬의특성은스칼라대수에서1과비슷한역할IA=AI=A .항등행렬과영행렬 .항등행렬(identity matrix) .항등행렬(identity matrix) 은주대각선의원소가모두1이고, 비대각원소는모두0인정방행렬(square matrix) 로기호I 또는In으로표시-단위행렬(unit matrix) 이라고도함. -여기서하첨자n은행이나열의차원을나타냄. 1 0 0 I3 = 0 1 0 0 0 1 .항등행렬의특성은스칼라대수에서1과비슷한역할IA=AI=A .항등행렬과영행렬 .항등행렬(identity matrix) .임의의행렬A에대해IA=AI=A 의의미는다음과같음. 1 2 3 1 0 A= I= 2 0 3 0 1 1 0 1 2 3 1 2 3 IA= = =A 0 1 2 0 3 2 0 3 .항등행렬은곱셈과정에서행렬곱의값에영향을주지않고, 항등행렬을삭제(삽입)할수있다는것을의미 .만약A=In일때, AIn=(In)2=In이됨. 이를일반화하면, (In)k=In (k=1, 2, ...) .이러한행렬을멱등행렬(idempotent matrix) 이라함. .항등행렬과영행렬 .항등행렬(identity matrix) .임의의행렬A에대해IA=AI=A 의의미는다음과같음. 1 2 3 1 0 A= I= 2 0 3 0 1 1 0 1 2 3 1 2 3 IA= = =A 0 1 2 0 3 2 0 3 .항등행렬은곱셈과정에서행렬곱의값에영향을주지않고, 항등행렬을삭제(삽입)할수있다는것을의미 .만약A=In일때, AIn=(In)2=In이됨. 이를일반화하면, (In)k=In (k=1, 2, ...) .이러한행렬을멱등행렬(idempotent matrix) 이라함. .항등행렬과영행렬 .멱등행렬과영행렬(idempotent matrix and null matrix) .멱등행렬(idempotent matrix) : 행렬을몇번곱해도그멱이변하지않는, 즉다음의성질을갖는행렬(예: 항등행렬, 영행렬) AA=(A)2=A .영행렬(null or zero matrix) 모든원소가0인행렬로알파벳대문자로O로나타냄. .항등행렬(I)이숫자1의역할을한다면, 영행렬(O) 은숫자0의역할을함. .항등행렬과영행렬 .멱등행렬과영행렬(idempotent matrix and null matrix) .멱등행렬(idempotent matrix) : 행렬을몇번곱해도그멱이변하지않는, 즉다음의성질을갖는행렬(예: 항등행렬, 영행렬) AA=(A)2=A .영행렬(null or zero matrix) 모든원소가0인행렬로알파벳대문자로O로나타냄. .항등행렬(I)이숫자1의역할을한다면, 영행렬(O) 은숫자0의역할을함. .항등행렬과영행렬 .영행렬(null matrix) .영행렬은정방행렬일필요는없음. .그러므로영행렬은다음과같이쓸수있음. 0 0 0 0 0 O= O= 0 0 0 0 0 .정방인영행렬은멱등행렬이지만정방이아닌영행렬은멱등행렬이아님(곱셈의적합성조건때문). .Am.n+Om.n =Om.n+Am.n =Am.n, (-A)m.n+Am.n =Am.n+(-A)m.n =Om.n .Am.nOn.p=Om.p 및Oq.mAm.n=Oq.n -곱셈에서등호의좌변에있는영행렬과우변에있는영행렬은서로차원이다를수있음. .항등행렬과영행렬 .영행렬(null matrix) .영행렬은정방행렬일필요는없음. .그러므로영행렬은다음과같이쓸수있음. 0 0 0 0 0 O= O= 0 0 0 0 0 .정방인영행렬은멱등행렬이지만정방이아닌영행렬은멱등행렬이아님(곱셈의적합성조건때문). .Am.n+Om.n =Om.n+Am.n =Am.n, (-A)m.n+Am.n =Am.n+(-A)m.n =Om.n .Am.nOn.p=Om.p 및Oq.mAm.n=Oq.n -곱셈에서등호의좌변에있는영행렬과우변에있는영행렬은서로차원이다를수있음. .항등행렬과영행렬 .행렬대수의특이성(idosyncrasies) .스칼라대수의경우ab=0 .a 또는b=0 .행렬의경우AB=0 .A와B가0이아닌경우가있음. 2 4 -2 4 0 0 AB= = =0 1 2 1 -2 0 0 .항등행렬과영행렬 .행렬대수의특이성(idosyncrasies) .스칼라대수의경우ab=0 .a 또는b=0 .행렬의경우AB=0 .A와B가0이아닌경우가있음. 2 4 -2 4 0 0 AB= = =0 1 2 1 -2 0 0 .항등행렬과영행렬 .행렬대수의특이성(idosyncrasies) .스칼라대수의경우ad=ae .d=e (.a.0) .행렬의경우AD=AE .반드시D=E인것은아님. 2 3 1 1 -2 1 A= D= E= 6 9 1 2 3 2 5 8 AD=AE= .D.E 15 24 .이와같은특이한결과들은특이행렬(singular matrix) 로알려진특수한형태의행렬에서만발생함. .항등행렬과영행렬 .행렬대수의특이성(idosyncrasies) .스칼라대수의경우ad=ae .d=e (.a.0) .행렬의경우AD=AE .반드시D=E인것은아님. 2 3 1 1 -2 1 A= D= E= 6 9 1 2 3 2 5 8 AD=AE= .D.E 15 24 .이와같은특이한결과들은특이행렬(singular matrix) 로알려진특수한형태의행렬에서만발생함. .전치행렬과역행렬 .전치행렬(transpose matrix) .전치행렬: 행렬A에서행들과열들이서로바뀔때A의전치행렬을얻으며, 이를A.또는AT로표시: A=[aij]m.n .A.=[aji]n.m -행렬A가m.n이면, 그전치행렬A.은n.m이됨. 3 1 A= A.= 8 0 -9 4 -행벡터x.은열벡터x를전치연산한것임. -n.n 정방행렬은동일차원의전치행렬이됨. 3 8 9 1 0 4 .전치행렬과역행렬 .전치행렬(transpose matrix) .전치행렬: 행렬A에서행들과열들이서로바뀔때A의전치행렬을얻으며, 이를A.또는AT로표시: A=[aij]m.n .A.=[aji]n.m -행렬A가m.n이면, 그전치행렬A.은n.m이됨. 3 1 A= A.= 8 0 -9 4 -행벡터x.은열벡터x를전치연산한것임. -n.n 정방행렬은동일차원의전치행렬이됨. 3 8 9 1 0 4 .전치행렬과역행렬 .전치행렬(transpose matrix) .대칭행렬(symmetric matrix) : -정방행렬의특수한형태인대칭행렬은주대각선을중심으로(하나의거울로간주) 양쪽에위치하는원소들이대칭으로배열된것(D=D.) 1 0 4 1 0 4 D= 0 3 7 D.= 0 3 7 4 7 2 4 7 2 -또다른예는항등행렬(I)이며, 이는대칭행렬로서I=I.임. .전치행렬과역행렬 .전치행렬(transpose matrix) .대칭행렬(symmetric matrix) : -정방행렬의특수한형태인대칭행렬은주대각선을중심으로(하나의거울로간주) 양쪽에위치하는원소들이대칭으로배열된것(D=D.) 1 0 4 1 0 4 D= 0 3 7 D.= 0 3 7 4 7 2 4 7 2 -또다른예는항등행렬(I)이며, 이는대칭행렬로서I=I.임. .전치행렬과역행렬 .전치행렬(transpose matrix) .전치행렬의성질: ①전치행렬의전치행렬은원래의행렬이됨. (A.).=A ②합의전치행렬은전치행렬의합과같음. (A+B).=A.+B. ③곱의전치행렬은전치행렬의역순(in reverse order) 의곱과같음. (AB).=B.A. .전치행렬과역행렬 .전치행렬(transpose matrix) .전치행렬의성질: ①전치행렬의전치행렬은원래의행렬이됨. (A.).=A ②합의전치행렬은전치행렬의합과같음. (A+B).=A.+B. ③곱의전치행렬은전치행렬의역순(in reverse order) 의곱과같음. (AB).=B.A. .전치행렬과역행렬 .역행렬(inverse matrix) .역행렬(inverse matrix) -행렬A가주어지면전치행렬A.은항상존재하지만, 행렬A에서유도되어지는역행렬은존재하지않을수도있음. -역행렬의개념(정의) : 일반적으로n.n인정방행렬A에대해서AB=BA=In 을만족하는n.n 행렬B가존재할때, 행렬B를행렬A의역행렬이라하며, A-1(inverse A) 로표기됨. .전치행렬과역행렬 .역행렬(inverse matrix) .역행렬(inverse matrix) -행렬A가주어지면전치행렬A.은항상존재하지만, 행렬A에서유도되어지는역행렬은존재하지않을수도있음. -역행렬의개념(정의) : 일반적으로n.n인정방행렬A에대해서AB=BA=In 을만족하는n.n 행렬B가존재할때, 행렬B를행렬A의역행렬이라하며, A-1(inverse A) 로표기됨. .전치행렬과역행렬 .역행렬(inverse matrix) .역행렬의성질: ①모든정방행렬이역행렬을갖는것은아님. 즉, 정방행렬은역행렬의필요조건임. 정방행렬A가역행렬을갖는다면, A 를비특이행렬(nonsingular matrix) 이라하고, 갖지않는다면A를특이행렬(singular matrix) 이라함. ②A-1 가존재하면A와A-1 는서로상대방의역행렬임. ③행렬A가n.n이면A-1 도n.n이어야함. .전치행렬과역행렬 .역행렬(inverse matrix) .역행렬의성질: ①모든정방행렬이역행렬을갖는것은아님. 즉, 정방행렬은역행렬의필요조건임. 정방행렬A가역행렬을갖는다면, A 를비특이행렬(nonsingular matrix) 이라하고, 갖지않는다면A를특이행렬(singular matrix) 이라함. ②A-1 가존재하면A와A-1 는서로상대방의역행렬임. ③행렬A가n.n이면A-1 도n.n이어야함. .전치행렬과역행렬 .역행렬(inverse matrix) .역행렬의성질: ④역행렬이존재하면그것은유일함. AB=BA=I (여기서B는A의역행렬) AC=CA=I 를충족하는또다른행렬C가존재한다가정하고, AB=I 의양변에C를앞곱하면CAB=CI(=C) 가정에의해CA=I 이므로위식은IB=C 즉, B=C (B 와C는동일한역행렬임.) 이때문에A-1 는A의유일한역행렬(the inverse) 임. .전치행렬과역행렬 .역행렬(inverse matrix) .역행렬의성질: ④역행렬이존재하면그것은유일함. AB=BA=I (여기서B는A의역행렬) AC=CA=I 를충족하는또다른행렬C가존재한다가정하고, AB=I 의양변에C를앞곱하면CAB=CI(=C) 가정에의해CA=I 이므로위식은IB=C 즉, B=C (B 와C는동일한역행렬임.) 이때문에A-1 는A의유일한역행렬(the inverse) 임. .전치행렬과역행렬 .역행렬(inverse matrix) .역행렬의성질: ⑤역행렬은다음과같은관계가성립함: -역행렬의역행렬은원래의행렬이됨. (A-1)-1=A (A와A-1 는서로상대방의역행렬) -곱의역행렬은순서를바꾼역행렬의곱과같음. (AB)-1=B-1A-1 -전치행렬의역행렬은역행렬의전치행렬이됨. (A.)-1=(A-1). .전치행렬과역행렬 .역행렬(inverse matrix) .역행렬의성질: ⑤역행렬은다음과같은관계가성립함: -역행렬의역행렬은원래의행렬이됨. (A-1)-1=A (A와A-1 는서로상대방의역행렬) -곱의역행렬은순서를바꾼역행렬의곱과같음. (AB)-1=B-1A-1 -전치행렬의역행렬은역행렬의전치행렬이됨. (A.)-1=(A-1). .전치행렬과역행렬 .역행렬(inverse matrix) .역행렬을구하는방법a b A= 의역행렬이존재한다고가정하고, c d 2.2 x yA-1= 라고하면, AA-1=I가되어야하기때문에z w 2.2 a b x y ax+bz ay+bw 1 0 AA-1= = = c d z w cx+dz cy+dw 0 1 이때, 행렬이서로같을조건에의하여, ax+bz=1 ... ⑴ay+bw=0 ... ⑵ cx+dz=0 ... ⑶cy+dw=1 ... ⑷ .전치행렬과역행렬 .역행렬(inverse matrix) .역행렬을구하는방법a b A= 의역행렬이존재한다고가정하고, c d 2.2 x yA-1= 라고하면, AA-1=I가되어야하기때문에z w 2.2 a b x y ax+bz ay+bw 1 0 AA-1= = = c d z w cx+dz cy+dw 0 1 이때, 행렬이서로같을조건에의하여, ax+bz=1 ... ⑴ay+bw=0 ... ⑵ cx+dz=0 ... ⑶cy+dw=1 ... ⑷ .전치행렬과역행렬 .역행렬(inverse matrix) -여기서앞의식을다시정리하면, {⑴.d}-{⑶.b} : (ad-bc)x=d ...⑸ {⑵.d}-{⑷.b} : (ad-bc)y=-b ...⑹ {⑶.a}-{⑴.c} : (ad-bc)z=-c ...⑺ {⑷.a}-{⑵.c} : (ad-bc)w=a ...⑻ -(ad-bc).0일때⑸, ⑹, ⑺, ⑻에서x= , y= , z= , w= d ad-bc -c ad-bc a ad-bc -b ad-bc .전치행렬과역행렬 .역행렬(inverse matrix) -여기서앞의식을다시정리하면, {⑴.d}-{⑶.b} : (ad-bc)x=d ...⑸ {⑵.d}-{⑷.b} : (ad-bc)y=-b ...⑹ {⑶.a}-{⑴.c} : (ad-bc)z=-c ...⑺ {⑷.a}-{⑵.c} : (ad-bc)w=a ...⑻ -(ad-bc).0일때⑸, ⑹, ⑺, ⑻에서x= , y= , z= , w= d ad-bc -c ad-bc a ad-bc -b ad-bc .전치행렬과역행렬 .역행렬(inverse matrix) -이를역행렬A-1 에대입하면, x yA-1= = z w d -b = -c a -(ad-bc)=0 일때⑸, ⑹, ⑺, ⑻에서a=0, b=0, c=0, d=0 이므로ax+bz=1, cy+dw=1 에모순. 따라서A의역행렬은존재하지않음. d ad-bc -c ad-bc a ad-bc -b ad-bc 1 ad-bc .전치행렬과역행렬 .역행렬(inverse matrix) -이를역행렬A-1 에대입하면, x yA-1= = z w d -b = -c a -(ad-bc)=0 일때⑸, ⑹, ⑺, ⑻에서a=0, b=0, c=0, d=0 이므로ax+bz=1, cy+dw=1 에모순. 따라서A의역행렬은존재하지않음. d ad-bc -c ad-bc a ad-bc -b ad-bc 1 ad-bc .전치행렬과역행렬 .역행렬을구하는방법: 정리a b d -b A= .A-1= c d -c a 1 ad-bc 서로자리바꾸기(주대각선) 부호를반대로바꾸기(비대각선) .전치행렬과역행렬 .역행렬을구하는방법: 정리a b d -b A= .A-1= c d -c a 1 ad-bc 서로자리바꾸기(주대각선) 부호를반대로바꾸기(비대각선) .전치행렬과역행렬 .역행렬과선형방정식체계의해 .역행렬의개념은연립방정식의해를구하는데응용됨. .방정식체계를다음과같이행렬기호로나타냄. A x = d (3.3) (3.1) (3.1) -이제역행렬A-1 가존재한다면, 위식의양변을A-1 로앞곱(pre-multiply) 을해주면A-1Ax=A-1d 또는x = A-1 d (3.1) (3.3) (3.1) .여기서x는방정식체계를충족시키는변수들의값, 즉해값의집합이됨. .전치행렬과역행렬 .역행렬과선형방정식체계의해 .역행렬의개념은연립방정식의해를구하는데응용됨. .방정식체계를다음과같이행렬기호로나타냄. A x = d (3.3) (3.1) (3.1) -이제역행렬A-1 가존재한다면, 위식의양변을A-1 로앞곱(pre-multiply) 을해주면A-1Ax=A-1d 또는x = A-1 d (3.1) (3.3) (3.1) .여기서x는방정식체계를충족시키는변수들의값, 즉해값의집합이됨. .전치행렬과역행렬 .역행렬과선형방정식체계의해 .역행렬A-1 가존재하는경우, 그것은유일하기때문에A-1d는유일한해값의벡터가됨. .따라서x 벡터가(유일한) 해의자격을가진것을나타내기위하여이것을x*라고쓰기로함. .전치행렬과역행렬 .역행렬과선형방정식체계의해 .역행렬A-1 가존재하는경우, 그것은유일하기때문에A-1d는유일한해값의벡터가됨. .따라서x 벡터가(유일한) 해의자격을가진것을나타내기위하여이것을x*라고쓰기로함. .전치행렬과역행렬 .역행렬과선형방정식체계의해: 요약정리 .계수행렬A가비특이행렬인경우선형방정식체계Ax=d 의해를구하는하나의방법은 ①우선역행렬A-1 를구하고, ②그다음에상수벡터d에A-1 를앞곱(pre-multiply) 하는것임. .그러면곱A-1d는변수들의해값을줌. .전치행렬과역행렬 .역행렬과선형방정식체계의해: 요약정리 .계수행렬A가비특이행렬인경우선형방정식체계Ax=d 의해를구하는하나의방법은 ①우선역행렬A-1 를구하고, ②그다음에상수벡터d에A-1 를앞곱(pre-multiply) 하는것임. .그러면곱A-1d는변수들의해값을줌. .전치행렬과역행렬 .예제: Keynes 의단순한국민소득모형 .역행렬과모형의해Y=C+I0+G0 .Y-C=I0+G0 C=a+bY .-bY+C=a -위식을행렬표기Ax=d 로나타내면, 1 -1 Y I0+G0A= x= d= -b 1 C a -행렬A의역행렬A-1 와모형의해x*= A-1d 1 1 A-1= b 1 Y* 1 1 I0+G0 I0+G0+a = = C* b 1 a b(I0+G0)+a 1 1-b 1 1-b 1 1-b .전치행렬과역행렬 .예제: Keynes 의단순한국민소득모형 .역행렬과모형의해Y=C+I0+G0 .Y-C=I0+G0 C=a+bY .-bY+C=a -위식을행렬표기Ax=d 로나타내면, 1 -1 Y I0+G0A= x= d= -b 1 C a -행렬A의역행렬A-1 와모형의해x*= A-1d 1 1 A-1= b 1 Y* 1 1 I0+G0 I0+G0+a = = C* b 1 a b(I0+G0)+a 1 1-b 1 1-b 1 1-b