피보나치수열과성망형곡선)
목차
피보나치수열의일반항Ⅰ
성망형(astroid) 곡선의일반식Ⅱ
피보나치수열의일반항Ⅰ
ⅱ수열& 생성함수의소개ⅲ생성함수를이용한일반항의유도ⅳ결론ⅰ피보나치수열의소개피보나치수열의일반항Ⅰ
ⅱ수열& 생성함수의소개ⅲ생성함수를이용한일반항의유도ⅳ결론ⅰ피보나치수열의소개
피보나치
수열의
소개
(질문)어떤토끼한쌍이있다.
암컷토끼는2개월에암수한쌍을낳는다.
10년후몇마리의토끼가될까?
황금비율
수열
& 생성함수의
소개
2012()......nnfxaaxaxax......012,,,..aaa임의의 수열 에
대하여
0kkkax
.
.
..
`
``
`1, 1, 1, 1, 1, ……
2012()......nnfxaaxaxax......
1 1 1 1
..111xx
..
.
일반항
1na.
수열의 세계 생성함수의 세계
수열의 세계 생성함수의 세계
`
자연수 전체를 N이라고 할 때 .
N을 정의역 으로 하는 실수 값
(또는 복소수 값 ) 함수
():()fxor.
N R C
생성함수를
이용한
일반항의
유도
(1)
우리는피보나치수열의항들간의관계식을알고있다!
수열의 세계 생성함수의 세계
``
``0, 1, 1, 2, 3, 5,…
23401234()...fxFFxFxFxFx......?.
일반항`
?na.
0 1 1 2 3
2101(0,1,2)nnnFFFFFn.......23201232()......nnnnfxFFxFxFxFx..
.........2320143()......nnnnxfxFxFxFxFx..
.........2232054()......nnnnxfxFxFxFx..
........21(1)()xxfxFxx.......2()
1xfxxx
.
..
..210nnnFFF.....
+
-
생성함수를
이용한
일반항의
유도
(2)
2()
1xfxxx
.
.
..
가부분분수로나누어진다고가정하자.
2()(,,,
111xABfxABabxxaxbx
.
....
....
)2(1)(1)()()
(1)(1)1()
AaxBbxABaBbAxaxbxabxabx
......
..
.....2()()
()1BAbAaBxabxabx
...
.
....
빨간박스안의두식이같아야하므로두식의계수를비교해서상수A, B, a, b 의관계식을구해준다.
생성함수를
이용한
일반항의
유도
(3)
..
01BAiAbaB
....
....
..
11abiiab
....
...
1ABab
..
.
두근를가진이차방정식
,..
을이용하면된다!!
2()0xx........210xx....
152x
.
..
1515&
22ab
..
...
15AB..
생성함수를
이용한
일반항의
유도
(4)
111()
115fxaxbx
..
.....
....
223311....(1)
1axaxaxaxax
......
.
....223322331()1...(1...)
5fxaxaxaxbxbxbx.............222333111()()()...
5abxabxabx.........
223323()()()
0...
555abababxxx
.....
.......
..0F1F2F3F
11515(0)
225nnnFn
..........
..............
........
결론
11515(0)
225nnnFn
..........
.............
........
피보나치 수열 =< 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8,…>
2101(0,1,2)nnnFFFFFn.......
생성함수
ⅰ성망형(astroid) 곡선의소개ⅱ문제소개및그래프의유추ⅲ그래프의일반식유도ⅳ문제의해결ⅴ결론성망형(astroid) 곡선의일반식Ⅱ
ⅰ성망형(astroid) 곡선의소개ⅱ문제소개및그래프의유추ⅲ그래프의일반식유도ⅳ문제의해결ⅴ결론성망형(astroid) 곡선의일반식Ⅱ
문제
소개
및
그래프의
유추
(1)
벽에수직으로서있는길이가a인막대가있다.
막대의한끝은벽에, 한끝은지면에닿은상태이다.
처음막대가벽에붙어있다가미끄러지면서지면에누울때까지막대가지나온부분의넓이를구하여라.
미끄러지는막대는어떠한그래프를그릴것이다?!
일정한길이의막대가넘어지므로대칭성이있다?!Ⅰ
직관적유추
문제
소개
및
그래프의
유추
(2)
일정한길이의막대가넘어지므로대칭성이있다?!Ⅰ
yx.
미끄러지는막대는어떠한그래프를그릴것이다?!Ⅱ
따라서우리는대칭성을띈다른곡선임을예측할수가있다.
문제그래프의유추(3)
0.8 a
a
원?!포물선?!
미끄러지는막대는어떠한그래프를그릴것이다?!Ⅱ
따라서우리는대칭성을띈다른곡선임을예측할수가있다.
문제그래프의유추(3)
0.8 a
a
원?!포물선?!
그래프
일반식의
유도
(1)
xya(,0)k22(,0)ak.
(k,o) 을지나는직선
22()
akyxkk
.
...
그리고우변의항을모두좌변으로이항시키면
22(,,)()0akfxykyxkk
.
....
그래프
일반식의
유도
(2)
3변수함수에서는x 와y, 그리고k의관계를알수없으므로
23222(,,)
0fxykaxkkkak
...
..
..
32kxa
..
따라서우리는두개의식을얻게된다.
2223222(,,)()0(,,)
0akfxykyxkkfxykaxkkkak
..
.......
......
....
그래프
일반식의
유도
(3)
3232222()
kxaakya
.
....
..
...
222333xya...
22(,,)()0akfxykyxkk
.
....
32ka
성망형(astroid) 곡선
보충
설명
이곡선은반지름이a인원위에다시반지름이a/4인원을올려놓고큰원의둘레를따라작은원을굴렸을때나타나는자취를나타낸곡선성망형(astroid) 곡선일반식:
222333xya..
``
문제의
해결
(1)
따라서적분을위해직교방정식을극방정식으로바꿔준다.
33cos&sinxaya....
103202sin3cos(sin)Sydxaad..........242203sincosad
.
.....
2332a.
.
2332aS
.
..
238a.
성망형(astroid)
전체의넓이
결론
길이가a인막대가쓰러지는자취의넓이그래프의유추및일반식유도
222333xya..
성망형(astroid) 그래프의일반식