Numerical Differentiation and Integration(미적분)

* Numerical Intergration

§1. Newton-Cotes Integration

      1) Trapezoidal Rule

      2) Simpson’s Rule

      3) Unequal segments

      4) Open Integration formula

§2. Integration of Equations

      1) Romberg integration

      2) Gauss  Quadrature

* Numerical differentiation

§1. High- Accuracy Differentiation formulas

§2. Ridchardson Extrapolation

§3. Unequally Spaced Data

§1. Newton-Cotes Integration

1) Trapezoidal Rule

1) Trapezoidal Rule

2) Simpson’s Rule

2) Simpson’s Rule

2) Simpson’s Rule

§2. Integration of Equations

1) Romberg integration

1) Romberg integration

2) Gauss Quadrature

2) Gauss Quadrature

2) Gauss Quadrature

2) Gauss Quadrature

 

2) Gauss Quadrature

Numerical differentiation

Numerical Differentiation and Integration Numerical Intergration §1. Newton-Cotes Integration 1) Trapezoidal Rule 2) Simpson’s Rule 3) Unequal segments 4) Open Integration formula §2. Integration of Equations 1) Romberg integration 2) Gauss Quadrature Numerical differentiation §1. High-Accuracy Differentiation formulas §2. Ridchardson Extrapolation §3. Unequally Spaced Data  §1. Newton-Cotes Integration .... babandxxfdxxfI)()(nnnnnxaxaaaxf ....... ... . . 1110)( .... babadxxfdxxfI)()(1 2  세 개의 직선 선분 아래의 면적에 대한 적분의 근사값 폐구간적분공식 개구간적분공식  1) Trapezoidal Rule # 사다리꼴 적분공식 .... babadxxfdxxfI)()(1)( )()( )()(1axabafbfafxf. . . .. 2)()( )( bfafabI . .. 사다리꼴 적분 공식의 그래프적인 표현 3))(('' 121abfEt.... 4  1) Trapezoidal Rule # 합성 사다리꼴 적분 공식 .... ......... xnxnxxxxdxxfdxxfdxxfI12110)()()( 2)()( 2)()( 2)()(12110nnxfxfhxfxfhxfxfhI . ..... . . . . . .. . .. . .... . . 110)()(2)( 2ninixfxfxfhI nxfxfxfabInini2)()(2)( )( 110. . . .. ..'' 12)( 23fnabEa . .. 5  2) Simpson’s Rule # Simpson 1/3 공식 .... babadxxfdxxfI)()(2 dxxfxxxxxxxxxfxxxxxxxxxfxxxxxxxxIxx... . .. . .. .. . .. .. . .. .. . 20212021012101200201021)( ))(( ))(( )( ))(( ))(( )( ))(( ))(( 6)()(4)( )( 210xfxfxfabI .. ..)( 901)4(5.fhEt..)( 2880)()4( 5 .fabEt . ..)]()(4)([ 3210xfxfxfhI... 6  2) Simpson’s Rule # 합성 Simpson 1/3 공식 .... ....... xnxnxxxxdxxfdxxfdxxfI14220)()()( nxfxfxfxfabIninnjji3)()(2)(4)( )( 15,3,126,4,20.. . . . . ... ..)4( 45180)( fnabEa . .. 6)()(4)( 26)()(4)( 26)()(4)( 212432210nnnxfxfxfhxfxfxfhxfxfxfhI .. ...... . .. . .. . ..  2) Simpson’s Rule # Simpson 3/8 공식 .... babadxxfdxxfI)()(3..)(3)(3)(3)( 833210xfxfxfxfhI.... 8)()(3)(3)( )( 3210xfxfxfxfabI ... ..)( 6480)()4( 5 .fabEt . ..  §2. Integration of Equations 1) Romberg integration 합성 사다리꼴 적분 공식과 Simpson 공식들은 높은 효율 성과 작은 오차를 필요로 하는 문제에 대해서는 부적합 . Romberg 적분법은 이러 한 결함을 제거시키기 위 해서 설계된 기법 중 하 나이다.  1) Romberg integration # Richardson 보외법 ; 보다 정확한 근사값을 구하는 3차로 계산하기위해 두개의 적분 추정값을 사용한다 . )()()()(2211hEhIhEhI...222121)( )( hhhEhE . 22121)()(.. . .. . . hhhEhE)()()()(2222121hEhIhhhEhI.... . .. . .221212)/(1)()( )( hhhIhIhE . . .'' 122fhabE . .. 10  # Richardson 보외법 ..)()( 1)/( 1)(122212hIhIhhhII... . .. . . .. )( 31)( 3412hIhII.. : 구간이 1/2로 줄어든 경우 )( 151)( 151612hIhII.. : 구간이 1/4로 줄어든 경우 )( 631)( 636412hIhII.. : 구간이 1/8로 줄어든 경우 11  1) Romberg integration # Romberg integration 알고리즘 14411,1,11, . . .. ... . kkjkjkkjIII 1/3 1/15 1/63 I11 I12 I13 I14 4/3 16/15 64/63 I21 I22 I23 I31 I32 %100,11,1,1kkkaIII.. .. I41 12  2) Gauss Quadrature 2)()( )( bfafabI . .. (a) 와 같은 사다리꼴 적분공식은 양 끝점을 지나야 되기 때문에 큰 오차를 생성해 낸다 . 반면에 (b)에서 처럼 고정된 기준점에 제약 을 제외 시킨다면 곡선상에 있는 어떤 두 점 을 연결하는 직선 아래의 면적을 자유롭게 계산 할 수 있게 된다 . Gauss 구적법은 이러 한 전략을 구현하는 기법중의 하나이다 . 13  2) Gauss Quadrature # Method of undetermined coefficients )()(10bfcafcI... . .. .. 2/)( 2/)( 101ababdxcc. . .. . . . . . 2/)( 2/)( 1022ababxdxabcabc 14  2) Gauss Quadrature # Method of undetermined coefficients 210abcc . ..)( 2)( 2bfabafabI . . . .02210. . . . . abcabc 15  2) Gauss Quadrature # 두점 Gauss-Legendre Formulas )()(1100xfcxfcI..21)()( 111100..... dxxfcxfc3/2)()( 1121100..... dxxxfcxfc0)()( 111100..... xdxxfcxfc0)()( 1131100..... dxxxfcxfc 16  2) Gauss Quadrature # 두점 Gauss-Legendre Formulas ...577350629.0310.. . .x...577350629.0311..x) 31() 31(ffI. . . 17  Numerical differentiation §1. High Accuracy Differentiation Formulas ........ 212)('' )(')()(hxfhxfxfxfiiii)( 2)('')()( )('21hOhxfhxfxfxfiiii.. . . . )( )()( )(' 1hOhxfxfxfiii. . . . )( )(2)( )(''212hOhxfxfxfiii. . . .. 18  §1. High Accuracy Differentiation Formulas )( 2)()(2)()()( )('22121hOhhxfxfxfhxfxfxfiiiiii. .. . . . ... )( 2)(3)(4)( )('212hOhxfxfxfxfiiii. ... . .. 전진차분에 의한 1차 도함수 : 오차 hxfxfxfiii)()( )(' 1. . . hxfxfxfxfiiii2)()(4)( )(' 12... . .. )(hO)(2hO 19  §1. High Accuracy Differentiation Formulas 후진차분에 의한 1차 도함수 : 오차 hxfxfxfiii)()( )(' 1. . . hxfxfxfxfiiii2)()(4)(3)(' 21.... . )(hO)(2hO 중앙차분에 의한 1차 도함수 : 오차 hxfxfxfiii2)()( )(' 11... . hxfxfxfxfxfiiiii12)()(8)(8)( )(' 2112........ . )(2hO)(4hO 20  §2. Ridchardson Extrapolation 두 가지 도함수 추정법을 사용해서 보다 정확한 근사값을 구하는 방법 . )]()([ 1)/( 1)(122212hIhIhhhII. . .. )( 31)( 3412hhII.. )( 31)( 3412hDhDD.. 21  §3. Unequally Spaced Data 각각 인접한 불균등한 간격을 갖는 세게의 점들에서 2차 Lagrange 보간다항식에 적합시키면 : ))(( 2)()(' 11111 ... . . .. .. . iiiiiiixxxxxxxxfxf ))(( 2)( 1111 .. .. .. .. . iiiiiiixxxxxxxxf ))(( 2)( 11111iiiiiiixxxxxxxxf .. .. . ... . . 22