Thevenin 정리와 Norton 정리

Thevenin 정리와 Norton 정리

  복잡한 회로에서 어느 두 단자 사이에 있는 부하저항을 흐르는 전류와 부하저항 양단의 전압에만 관심이 있을 때, 회로의 나머지 부분을 간단한 등가회로로 바꾸어 생각할 수 있다는 것이 Thevenin 정리와  Norton 정리이다. 이들 정리는 복잡한 회로의 일부에만 관심이 있을 때 사용할 수 있는 아주 쓸모 있는 분석법이다.

 (1) Thevenin의 정리

  그림 1에서처럼, 두 단자를 가진 임의의 회로망을 하나의 등가전원과 하나의 등가저항이 직렬연결된 회로로 바꾸어 놓을 수 있다는 것이 Thevenin 정리이다.

그림 1. 임의의 회로망과 그 Thevenin 등가회로

 이 때 등가전원 Vth와 등가저항 Rth의 값은 등가회로를 생각하면 쉽게 구할 수 있다. 실험적으로, Vth는 두 단자 사이를 개방시킨 상태에서의 두 단자 사이의 전압인 open-circuit voltage (Voc)를 재서 구할 수 있다. 회로망의 내부 회로가 알려져 있을 경우에는, 역시 두 단자 사이가 개방된 상태에서의 두 단자 사이의 전압을 계산하여 구할 수 있다.

  예로서 그림 2(a)의 회로의 Thevenin 등가 전원을 구해보자. 두 단자 a, b 사이를 개방하면 R3에는 전류가 흐르지 않으므로, 그림 2(c)에서와 같이 Vth는 공급전원 V에 의한 전류가 R1과 R2를 통해 흐를 때 R2에 걸린 전압과 같다. 즉,

(1)

이다.

그림 2. Thevenin 등가 회로 구하기. (a) 주어진 회로망, (b)와 (c) 등가 전원의 값 구하기, (d)와 (e) 등가 저항 구하기, (f) Thevenin 등가 회로.

  Thevenin 등가저항 Rth는 여러 가지 방법으로 구할 수 있다. 첫 번째 방법으로는 open-circuit voltage (Voc)를 short-circuit current (Isc)로 나누어 구할 수 있다. Voc는 위에서 설명한 바와 같고, 그림 1(b)의 회로에서는 Vth가 된다. Isc는 두 단자 사이를 단락시킨 상태에서 두 단자 사이를 흐르는 전류를 재는 것으로 그림 1(b)의 회로에서는 Ohm의 법칙에 의해 Vth/Rth가 된다. 따라서 Voc를 Isc로 나누면,

(2)

가 되어, Rth를 얻게 된다.

두 번째 방법으로는, 회로망 내의 모든 전원을 단락시키고 두 단자를 개방한 상태에서의 두 단자 사이의 저항을 측정하거나 계산하여 구할 수 있다. 예를 들어 그림 2의 경우, (d)가 전원을 단락시킨 회로이고, 이를 (e)와 같이 바꿔 그릴 수 있으므로, Rth는

 (3)

가 된다.

  세 번째 방법으로는 그림 2(f)와 같이 두 단자 사이에 가변저항을 부하저항으로 연결한 후, 가변저항 값을 바꿔가면서 두 단자 사이의 전압을 측정하다가, 두 단자 사이의 전압이 0.5 Voc가 될 때의 가변저항의 저항값을 측정하면 Rth와 같아지게 된다. 왜냐하면, 가변저항 RL 양단의 단자간 전압 Vter는

(4)

이고, RL = Rth 일 때, Vter = 0.5 x Vth 이기 때문이다.

(2) Norton의 정리

  그림 3에서처럼, 두 단자를 가진 임의의 회로망을 하나의 등가전류원과 하나의 등가저항이 병렬연결된 회로로 바꾸어 놓을 수 있다는 것이 Norton 정리이다.

그림 3. 임의의 회로망과 그 Norton 등가회로

  Thevenin 등가회로의 경우와 마찬가지로, Norton 등가회로에서도 등가전류원 IN와 등가저항 RN의 값은 등가회로를 생각하면 쉽게 구할 수 있다. 실험적으로, IN는 두 단자 사이를 단락시킨 상태에서의 두 단자 사이의 전류인 Isc를 재서 구할 수 있다. 회로망의 내부 회로가 알려져 있을 경우에는, 역시 두 단자 사이가 단락된 상태에서의 두 단자 사이의 전류를 계산하여 구할 수 있다.

  예를 들어 그림 4(a)의 회로의 경우, Isc는 (b)와 같이 두 단자 사이를 단락시켰을 때 두 단자 사이의 전류이고, 이를 (c)와 같이 변형하여 그리면 R3를 통해 흐르는 전류이다. 전지를 통해 흐르는 총 전류는 V/[R1+(R2//R3)]이고, 이 전류가 R2와 R3를 통해 나누어 흐르므로

가 된다.

그림 4. Norton 등가 회로 구하기. (a) 주어진 회로망, (b)와 (c) 등가 전류원의 값 구하기

  Norton 등가회로에서의 등가저항 RN의 값은 Thevenin 등가회로의 등가저항 Rth의 값과 같고, 따라서 Rth와 같은 방법으로 구할 수 있다.

  Norton 등가회로에서의 등가저항 RN의 값이 Thevenin 등가회로의 등가저항 Rth의 값과 같다는 것은 다음과 같이 알 수 있다. Norton 등가회로도 두 단자 회로망의 하나이므로, 그 Thevenin 등가회로를 구할 수 있다. 그림 3(b)의 Norton 등가회로의 두 단자를 개방하면 IN이 모두 RN을 통해 흐르게 되므로, open-circuit voltage, 즉 Vth의 값은

(5)

이다. 또한 Norton 회로의 두 단자를 단락시키면 IN이 모두 두 단자 사이로 흐르게 되므로 short-circuit current는 IN이다. 그러므로 Rth의 값을 Voc/Isc로 구하면

(6)

이 된다. 즉, Thevenin 등가회로와 Norton 등가회로 의 등가저항 값은 같고, Vth와 IN의 관계는 Ohm의 법칙과 유사한 형태의 식 (5)로 주어진다.